题目类型：
问答题
题目内容
设f(x)是区间[α，b]上的连续函数，并且
Φ(x)=∫αx(x-t)2dt(α≤x≤b)，
证明Φ′(x)=2∫0x(x-t)f(t)dt.
Φ(x)=∫αx(x-t)2dt(α≤x≤b)，
证明Φ′(x)=2∫0x(x-t)f(t)dt.
正确答案
证明：Φ(x)=∫αx(x-2tx+t2)f(t)dt =x2∫αxf(t)dt-2x∫αxtf(t)dt+∫αxt2f(t)dt 所以 Φ′(x)=(x2∫αx(t)dt)′-2(x∫αxtf(t)dt)′+(∫αxt2f(t)dt)， =2x∫αxtf(t)dt+x2f(x)-2∫αxtf(t)dt-2x2f(x)+x2f(x) =2∫αxxf(t)dt-2∫αxtf(t)dt=2∫αx(x-t)f(t)dt.